INTRODUÇÃO A GEOMETRIA ESPACIAL E RELAÇÃO DE EULER

Habilidades – EM13MAT309 (Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais). EM13MAT315 (Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema).

Recursos didáticos – material concreto – diferentes tipos triângulos em MDF (tangram) ou impressão 3D (identificação similaridades lados e ângulos) e sólidos geométricos regulares. Fita adesiva.

Etapa 1 

Cada aluno receberá um kit com triângulos visando a revisão dos conceitos associados aos tipos de triângulo, protótipo 3D disponível site (figura 1).

Figura 1 - Triângulos (isósceles, escaleno, equilátero; acutângulo, obtusângulo, retângulo)

Será feita a identificação dos tipos de triângulos quanto as medidas e ângulos.

Etapa 2

O aluno receberá o desafio de estabelecer a formação de uma "figura fechada" com uso dos 4 triângulos de cada tipo. A proposta visa a percepção pelo aluno da impossibilidade da formação da "figura fechada", não permitindo nenhuma margem externa (figura 2)

Figura 2 - "Figura fechada" construída com o kit de triângulos da figura 1

É dado ao aluno 4 triângulos iguais dos diferentes tipos e o desafio é a montagem de uma figura fechada para cada tipo de triângulo (figura 3)

Figura 3 - "Figura fechada" construída com 4 triângulos de cada tipo

Na sequencia, o desafio será formar um quadrado com 2 triângulos iguais (figura 4)

Figura 4 - Formação de quadriláteros com 2 triângulos iguais

Espera-se:

a) que o aluno perceba e relembre que o quadrado somente é formado com triângulo equilátero, com os demais forma-se quadrilátero, mas não quadrado

 b) que o aluno perceba que apenas consegue formar uma figura quando utiliza os tipos equilátero e isósceles

Nesta etapa se define poliedro (figura geométrica de três dimensões, formada por polígonos) regular (polígonos congruentes) e irregular (nem todos os polígonos são congruentes)

Etapa 3

É apresentado ao aluno o tetraedro regular (sólido geométrico em acrílico), figura 5 visando que o mesmo perceba que a figura que construiu na etapa 2, se denomina tetraedro. Explora-se, a partir do polígono (triangulo equilátero) a identificação dos vértices, faces e arestas, definindo-os e quantificando.

                                            Figura 5 - Tetraedro ( 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas)

Etapa 4 

É dado ao aluno 6 quadrados iguais e o desafio de construir uma "figura fechada" com os mesmos  (figura 6)

Espera-se a construção de um cubo. É dado ao aluno o hexaedro (figura 6).

Explora-se, a partir do polígono (quadrado) a identificação dos vértices, faces e arestas, quantificando.

                          Figura 6 - Construção hexaedro (6 faces quadrangulares, 8 vértices e 12 arestas)

Etapa 5

É dado ao aluno o octaedro (figura 7). Pede-se para que sejam identificados os polígonos no sólido.

Explora-se, a partir dos polígonos (quadrado e triângulo equilátero) a identificação dos vértices, faces e arestas, quantificando, e a percepção da relação octaedro com tetraedro.

                                        Figura 7 - octaedro (8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas)

Etapa 6

É dado ao aluno o dodecaedro (figura 8). Pede-se para que seja identificado o polígono no sólido.

Explora-se, a partir do polígono a identificação e quantificação das faces e estima-se quantitativo arestas, e vértices.

                                     Figura 8 - Dodecaedro (12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas)

Etapa 7

 É dado o desafio ao aluno para que o mesmo perceba se há algum padrão nas relações entre face, arestas e vértices.

      Tabela 1 - Faces, arestas e vértices de sólidos geométricos

Relação de Euler – V + F = A + 2

Etapa 8

Após definir a relação de Euler, apresentar  o icosaedro (figura 9), pedindo para que se identifique o polígono e quantifique os vértices e as faces e, aplicando a relação de Euler, defina o quantitativo de arestas.

                                        Figura 9 - Icosaedro ( 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas)

Etapa 9

É apesentado ao aluno um sólido irregular e não convexo (figura 10).  Define-se poliedro convexo (quando um segmento de reta que liga quaisquer dois de seus pontos está inteiramente contido nele). e poliedro não convexo (côncavo).

                                                       Figura 10 - Poliedro côncavo

A aula é finalizada incentivando os alunos a pesquisarem sobre os sólidos de Platão.